ללמוד על גידול מעריכי מהתפשטות וירוס הקורונה


גידול מעריכי

התפשטות וירוס הקורונה ממחישה גידול אקספוננציאלי ומספקת הזדמנות לדיון מעניין עבור התלמידים. לדוגמא, אפשר לבקש מהתלמידים לחקור ולהשוות בין בידוד של חלקי אוכלוסיה לבין התמקדות בחולים ובנשאים במונחים מתמטיים, כלומר, איך כל פתרון משפיע על המקדם, על הבסיס ועל החזקה של פונקצית ההתפשטות המעריכית.


פונקצית ההתפלגות המעריכית של וירוס הקורונה היא מהצורה הבאה:

כאשר:

  • x(t) - כמות הנדבקים/מתים ביום נתון

  • x0 - כמות הנדבקים/מתים ביום הראשון

  • b - מקדם ההתפשטות: כמה אנשים מדביק אדם אחד ביום אחד

  • t - הזמן בימים

למשל, נניח שביום הראשון היה חולה אחד, ומקדם ההתפשטות הינו 2 (אדם אחד מדביק שני אנשים אחרים ביום אחד), אז המשוואה תראה כך:



ועכשיו אפשר לבנות טבלה בגליון אלקטרוני ולהציג את גרף ההתפשטות של הוירוס למשך חודש:


כפי שרואים מהגרף, בתוך שלושים יום מספר הנדבקים מגיע למעל מילארד אנשים!

בפועל, מספר גורמים נוספים צריכים להילקח בחשבון:

  1. מי שכבר נדבק לא יכול להיות מודבק שוב.

  2. פעולות למניעת ההתפשטות שננקטות בעולם, כגון בידוד, מאיטות את קצב ההתפשטות.

  3. וירוס הקורונה לא מוכר מספיק, לכן קצב ההדבקה לא ידוע במדוייק.

  4. מספר הנדבקים לא באמת ידוע מכיוון שלא ניתן לבדוק את כלל האוכלוסיה.


לכן, כדי לבצע חישוב מדוייק יותר נשנה את נתוני ומדדי הבדיקה:

  • נתייחס לכמות המתים (שהוא נתון מדוייק יותר) ולא לכמות הנדבקים

  • נחשב את מקדם ההתפשטות מתוך הסתכלות על כמות המתים בכל העולם במשך חודש מרץ תוך ביצוע רגרסיה לינארית.


אלו נתוני המוות כתוצאה ממחלקת הקורונה על פי אתר worldometers.com:




נציג את הנתונים בגרף:


כפי שניתן לראות, שיפוע הגרף מתון בהרבה מהחישוב הראשוני שלנו.


רגרסיה לינארית

בביצוע רגרסיה לינארית אנו מנסים למצוא קשר לינארי בין משתנה בלתי תלוי, x, לבין המשתנה התלוי y, כאשר צורתה הכללית של המשוואה היא

y = a +b*x




(מקור: ויקיפדיה)

בתרשים רואים מדידות (נקודות אדומות) של y ביחס ל x, והקו הלינארי הכחול הוא הקו שאיתו אנו מנסים להסביר את תלות y ב- x, וכך גם לבצע צפי עתידי של ערכי y כתלות ב x. ההנחה שבבסיס הרגרסיה הלינארית היא כמובן שבמודל עצמו אנו צופים תלות לינארית של y ב- x.


בכדי שנוכל לבצע רגרסיה לינארית על המודל שלנו, שהוא כזכור מצורה מעריכית ולא לינארית, נעביר אותו להצגה לוגריתמית - שהיא ייצוג לינארי של הצורה המעריכית.

כלומר, במקום להציג את

נציג את

Log(x0) + Log(b) *t


שהוא מצורה לינארית. הגרף המתקבל נראה כעת כך:


הצגת הגרף הלוגריתמי בוצעה על ידי חישוב הלוגריתם בבסיס 10 של כמות המתים המצטברת ולקיחת עמודת הערכים הלוגריתמיים כציר y של התרשים.


בשלב הבא, נציג את קו המגמה (Trendline) באמצעות הגליון האלקטרוני - ב- Google Sheets מבצעים זאת באמצעות סימון Trendline ב- Customize / Series:

הקו הכחול הוא קו המגמה. בכדי למצוא את משוואת הקו, נבחר בהצגת התווית (ליד סימון ה Trendline) להציג את המשוואה (Use Equation) ונקבל את נתוני הקו שחיפשנו:


כלומר,

Log(X0) = 3.29

Log(b) = 0.0408

מתוך הלוגריתם נחשב את הנתונים המקוריים:

במילים, מקדם ההתפשטות של המגפה במונחים של מספר מתים ליום הינו 1.1.

נחזור לגרף הראשוני שלנו ונציב את שני הערכים שמצאנו:


מתוך הגרף הזה ניתן כעת לבצע צפי של מקדם ההתפשטות ולהעריך את כמות המתים בזמן הקרוב.


הערה: צריך לזכור שבשלב מסוים נתוני הגרף ישתנו כתוצאה מכך שכמות גדולה מהאוכלוסיה כבר תודבק (חיסון עדר), וכמו כן התגובות והפעולות של מערכות השלטון במדינות השונות משפיעות מאוד על קצב ההתפשטות, כך שהיכולת לצפות את התפשטות המחלה היא מוגבלת.


סיכום

  • ביצענו חישוב של מקדם ההתפשטות של מקרי המוות כתוצאה מווירוס הקורונה בהנחה שמודל ההתפשטות הינו מעריכי (אקספוננציאלי).

  • החישוב בוצע באמצעות רגרסיה לינארית על הגרף הלוגריתמי של נתוני המוות העולמיים ממחלת הקורונה.

  • אסטרטגיות הבידוד של המדינות השונות מנסות להשפיע הן על השיעור ההתחלתי של הנדבקים (X0) והן על מקדם ההתפשטות (b), שהוא בסיס החזקה.


שאלה: אילו משני הגורמים לדעתך - X0 ו b - מושפע, ובאיזו מידה, מהאסטרטגיות הבאות:

  1. הגבלת או מניעת כניסת תיירים למדינה

  2. בידוד אזרחים המגיעים בטיסה מחו"ל

  3. ריחוק חברתי

  4. בידוד אנשים ששהו בקרבת חולים

  5. בידוד האוכלוסיה שבסיכון

  6. עטיית מסכה

  7. חיטוי ידיים



גליון הנתונים עם כל החישובים ניתן לצפייה כאן: https://docs.google.com/spreadsheets/d/1TPM6wiYGKD5GSoEmJgQlouxjwX-wUUwhy16ZTqa1gXQ/edit?usp=sharing

35 views

ABOUT US

Here in ActivePuzzle we love to learn by playing (honestly, who doesn't?), and this is why we invented the ActivePuzzle game, active puzzle pieces which form robots. We are scientists and engineers who happened to be educators. For a long time we were seeking a language to express exciting ideas. We believe we found it.

Subscribe to ActivePuzzle:

  • Grey Facebook Icon
  • Grey Twitter Icon

© 2019 ActivePuzzle